Her ne kadar bir oyun ya da boş zaman aktivitesi gibi görünse de bulmaca çözmek sanıldığından ciddi bir iştir. Biyolojiden kimyaya, tıptan eski belgelerin analizine ve hatta arkeolojiye uzanan farklı alanlar, bulmaca çözmeyle ilgilenir. Örneğin biyoinformatikte DNA sekanslama ya da hesaplamalı kimyada istenilen özelliklere sahip olan molekül yapılarını bulmak, bir tür bulmacadır. Bulmacalar birbirinden farklı yöntemlerle çözülür. En bilinenlerinden biri olan yapboza [jigsaw puzzle] bakalım. Verilen bir yapbozun çözümü olup olmadığını ve çözümü varsa ne kadar zamanda çözülebileceğini belirleyen bir algoritma yok. Diğer bir ifadeyle, yapboz çözmek “NP-tam”¹ karmaşıklığa sahip bir problem. Aynı, “gezgin satıcı” problemi² gibi. Önceki yazıda renklerle başladığımız eksik parçaları tamamlamaya, kültürel mirasın korunması ve arkeoloji alanında bulmacalar çözerek devam edelim.

Kırık Parçalarından Bir Freski Yeniden Yapmak

Bir yapboz kutusunun üzerinde, yapmayı başarırsak ulaşacağımız resmi görürüz. Kırık parçalarından bir freski çözmenin her şeyden önce en zor yanı, büyük ihtimalle oluşturdukları resmi daha önce görmemiş olmamızdır. Tabii bununla da sınırlı değil arkeolojik bulmacaları çözmenin zorlukları. Parçalar herhangi bir şekilde olabilir. Doğal etkenler, depremler ya da insan eliyle kırılan parçalar, bir yapboz setindeki gibi standart değildir. Renk bütünlüğü taşımalarını bekleyeceğimiz kenarlarından, köşelerinden aşınmışlardır. Büyük ihtimalle eksik parçalar da vardır. Parçalar arasındaki dönüşüm, süreklidir. Sadece iki parça değil, belki çok fazla parça arasında doğru görünen bir birleşim söz konusu olabilir.

İsrail’de Technion ve Hayfa Üniversitesi’nden araştırmacılar Niv Derech, Ayellet Tal ve Ilan Shimshoni tarafından yapılan bir çalışma³, arkeolojik bulmacaların çözümüne bir dizi yenilik getiriyor. Matematiksel yaklaşımları kadar ilgi çekici olan ise önerdikleri yöntemin birbirinden farklı, gerçek fresk desenlerinden oluşturulmuş bulmacaları doğru bir şekilde çözebilmesi. Gelin hep birlikte bu çalışmanın ayrıntılarına göz atalım.

Derech ve arkadaşlarına göre, arkeolojik bulmacaları zor yapan üç özellik var: İlki aşınma. Aşınma, birleşen parçalar arasında boşluklar kalmasına neden oluyor. İkincisi renklerin solması. Renk, iki parçanın birbiriyle ilişkili olup olmadığını anlamak için önemli bir bilgi olduğundan, solmaya rağmen kullanılabilmelidir. Üçüncüsü ise her parça arasındaki geçerli dönüşümün sürekli olması. Yani bunu şöyle ifade edebiliriz: Elimizde parçaları yerleştireceğimiz bir çerçeve ve tüm parçaların üstüne oturacağı bir ızgara (ya da bir elek) yok. Her parça, her yöne dönebilir ve birkaç milimetre sağa, sola, yukarı ya da aşağı yerleştirilebilir.

Şimdi, gelin bu çalışmada kullanılan ve yukarıdaki şekilde özetlenen arkeolojik bulmacaları çözme yöntemine göz atalım. İlk adım, parçaların devamını tahmin etmek. Var olan parçalar kısmen hasar görmüş, kenar ve köşelerinde eksikler olabilir. İlk adımda yaptıkları şey, etraflarında küçük şeritler halinde bu parçaların devamını tahmin etmek ve genişletmek. Bunu her parçanın renk ve doku değişimi, aynı zamanda da şekil ve fotometrik özelliklerini dikkate alan bir optimizasyon problemini çözerek gerçekleştiriyor. Bir fresk parçasında bulunan renkler zaten sınırlı olduğundan, bu yöntem parçaların devamını tahmin ederken sadece ana parçada olan renkleri kullanıyor.

Parçaların kenarlarını biraz genişlettikten sonra, sıradaki adım denemeye başlamak. Nasıl kendimiz bir bulmaca çözmeye başladığımızda iki parçanın yan yana uyup uymadığını deniyorsak, bu aşamada da renk ve şekil benzerliklerine bakılarak bir dizi öneride bulunuluyor. Tabii ki bu önerilen dönüşümlerin hepsi doğru çözüm olmayacak, ama daha sonra içlerinden doğrusunu seçmeye çalışacağız.

Daha önce belirttiğimiz gibi, arkeolojik bulmacalarda mükemmel eşleşmeler bulmamız çoğu zaman mümkün değil. Zaten parçalar mükemmel bir şekilde eşleşiyorsa, muhtemelen bu sorun insan eliyle kolayca çözülüyordur ve böyle bir algoritmaya gerek duyulmaz. İşte bu adım, daha önce örneklenen geçerli dönüşümlerin her biri için bir “farklılık değeri” oluşturmak. Bu değer, bir sayısal bir büyüklük ve iki parçanın önerilen göreceli konumlarında birbirine ne kadar uyumsuz olduğunu ifade ediyor. Uyumsuz bir dönüşüm için oldukça yüksek bir değere sahip olacak. Matematiksel optimizasyonun amacı da bu farklılık değerini minimize etmek olacak. Böylelikle, bu farklılık değeri küçük olan, birbirini renk ve şekil olarak tamamlayan dönüşümleri bulup iyi eşleşmelere ulaşabiliriz.

Son aşama ise daha önceki aşamada hesaplanan farklılık değerlerini kullanarak bir parçadan başlayıp sırayla parçaları birleştirmek. Çoğu zaman, parçaların bulunduğu duvarın ve freskin orijinal boyutu bilindiği için bu bilgi de kullanılır.

Yukarıdaki görselde, bu adımlar uygulanarak çözülmüş bulmaca örnekleri görüyorsunuz. Üst sıradaki örnekler başarılı olanlar. Ortak noktaları aralarında çok büyük kayıplar olmaması. İkinci sıradaki freskin ortasında ise oldukça büyük bir boşluk var. Bu yüzden algoritma masanın sağ ve sol yanını doğru şekilde yerleştirememiş.

Şekilde görülenler ve bu çalışmadaki diğer örnekler, fresklerin ve resimlerin aslı farklı kiliselerden ve British Museum koleksiyonlarından alınmış. Ancak, parçalar gerçek değil. Kuru çamur üzerindeki kırıkları simüle edecek şekilde parçalar üretip fresk kırıklarını ona göre sentetik olarak yapmışlar. Kuru çamur kırıklarını kullanmaları aslında doğrudan fresklerin yapım yöntemiyle ilgili. Bu, antik çağlardan beri kullanılan bir yöntem olsa da 13. yüzyıldan itibaren İtalya’da geliştirilmiş ve Rönesans’ın simgelerinden biri olan duvar resmi tekniği: Boyanmak istenen duvara iki kat sıva uygulanır ve ikinci katta genel hatlarıyla resmedilmek istenen tasarım çizilir. En üstteki sıva tabakası tamamen kurumadan yaş haldeyken su bazlı boyayla tüm yüzey resmi yapılır. Islak olarak yapılması gerektiği için, genellikle freskleri yapan sanatçı bir günde boyayabileceği kadar sıvayı hazırlar. Zaten fresk [fresco], İtalyancada taze anlamına gelmektedir. İşte kırıkları sanki bir çamur yüzeyin donup kırılmış haline benzer kırıklarla simüle etmeleri bu yüzden. Hasar gören freskler de kurumuş çamur üzerindeki dokulara benzer şekilde deforme olabilir.

Veriden Öğrenmek: Daha İyisi Mümkün mü?

Fresklerin yeniden birleştirilmesi ve bir bulmaca gibi çözülmesi, aslında restorasyonda kullanılan bir yeniden yapılandırma tekniği, anastilosisin bir türü olarak görülebilir. Arkeolojik bir terim olan anastilosis (αναστήλωσις), eski Yunancada “tekrar” ve “dikmek” anlamına gelen iki kelimeden oluşur. Büyük sütunlardan çömleklere ya da daha küçük sanat eserlerine kadar zaman içinde zarara uğramış tarihi eserlerin restorasyonunda kullanılır. Fresk örneğinde olduğu gibi, parçaların dijital ortamda, matematiksel yöntemler kullanılarak nasıl yerleştirildiğini gördük.

İncelediğimiz önceki çalışma, parçaların renk ve şekil benzerliklerini kullanarak verilen tek bir bulmacayı parça sayısına göre, örneğin 36 parça için 200 dakika içinde çözüyor. Yapay zekânın bir alt dalı olan makine öğrenmesi ve derin öğrenme, binlerce hatta milyonlarca örnek üzerinde bu imkânı sunuyor. Her ne kadar makine öğrenmesi yöntemleri “bulmaca çözmek” gibi kombinatoryal problemler için pek iyi sonuç vermese ve tek başına yeterli olmasa da arkeolojik bulmacaları çözmede işe yarayıp yaramayacakları düşünmeye değer. Bir freski ya da resmi parçalarından yerleştirmek için, onunla benzer dönemlerde, benzer malzeme ve renklerden yapılmış başka örnekler üzerinde derin öğrenme modellerini eğitebilir miyiz?

Evet, bu yönde çalışmalar da var. Aşağıdaki şekilde çalışma şeması gösterilen Deepzzle yöntemi^4; 5, New York’taki Metropolitan Sanat Müzesi’nin açık erişim politikasıyla paylaştığı 14.000 fotoğraf ve resimden oluşan bir veri setiyle eğitilmiş⁶. Resimler 3 × 3’lük parçalara bölünüyor. İlk aşamada, bir derin öğrenme modeli ortadaki ile verilen diğer bir parçanın göreceli ilişkisini (üstünde, altında, sağında ya da solunda) tahmin etmek üzere eğitiliyor. İkinci aşamada ise parçalar ve derin öğrenme yönteminin tahmin ettiği olasılıklarla, çizge [graph] adı verilen yapılar oluşturuluyor. Çizgeler, düğümler ve bu düğümlerini birbirine bağlayan kenarlardan meydana geliyor. Ardından da çizgeler üzerinde çözülen en kısa yol optimizasyonu, en ideal yerleştirmeyi veriyor.

İlk bakışta, Deepzzle yönteminde 3 × 3’lük bulmacaları çözmek, önceki çalışmadan daha kolay gibi. Ayrıca parçalar kare şeklinde. Buna rağmen, bu problemi binlerce resim üzerinden öğrenmek, yani “veriden öğrenme” salt kombinatoryal optimizasyonla çözmeye kıyasla avantajlar içeriyor. Elimizde çözmek istediğimiz bir freske, çömlek kırıklarına ya da resimlere benzer bir veri seti üzerinde makine öğrenmesi yöntemleriyle, parçalar arasındaki uzamsal benzerliği öğrenmiş oluyoruz ve bu da daha iyi yerleştirme yapmamızı olanak sağlıyor.

Bu yazıda, arkeolojik bulmacaları çözmeyi bir dijital anastilosis örneği olarak ele aldık. Freskler ya da dijitalleştirilmiş resimlerde bunu iki boyutlu örnekler üzerinde gördük. Benzer yöntemler, üç boyutlu arkeolojik objelerin bilgisayar ortamında tamamlanması için de kullanılıyor. Parçaların büyük hasar gördüğü ve sayısı çok olan kayıp bir freski geri getirmek hayli zor bir problem. Yine de bu yönde gelişmeler olması heyecan verici. Restorasyon çoğu zaman uzmanlar tarafından, yani insan eliyle yapılsa da incelediğimiz teknolojiler bu süreçleri hızlandırabilir ve insan gözüyle kolay fark edilemeyecek parçaları tamamlayabilir.

1. Teorik bilgisayar bilimleri ve ayrık matematikte “hesaplamalı karmaşıklık teorisi”, hesaplamalı bir problemi ne kadar kaynak ve zaman kullanarak çözülebileceğine odaklanır. Çözümde kullanılacak algoritmadan bağımsız olarak bazı problemler doğası gereği daha zordur. Burada belirtilen kısaltma, NP [Nondeterministic, Polynomial time], bir karmaşıklık sınıfını ifade ediyor. Çözümleri belli bir zamanda (polinomsal) doğrulanabilen problemler kümesidir. NP karmaşıklığa sahip problemlerin en zor türü ise NP-tam olarak adlandırılan ve polinomsal zamanda çözülemeyen problemlerdir. Hesaplamalı bir problem olarak yapbozlar da NP-tam karmaşıklığa sahip problemlerdendir. Yapbozların karmaşıklığıyla ilgili daha fazla bilgi için bkz. Erik D. Demaine ve Martin L. Demaine. “Jigsaw puzzles, edge matching, and polyomino packing: Connections and complexity.” Graphs and Combinatorics 23. Suppl 1 (2007): 195-208.

2. Gezgin satıcı problemi (Traveling Salesman Problem, TSP) şöyle tanımlanabilir: Bir satıcı “n” farklı şehri turlamak istiyor. Her şehre yalnızca bir kez uğramak şartıyla, hangi sırada seyahat ederse en kısa yolu kat etmiş olur? Bu problem, lojistikten, elektronik devre üretimine, hatta DNA parçalarının benzerliğini ölçmeye kadar çok farklı alanlarda karşımıza çıkar. Gezgin satıcı problemi de yapbozlar gibi NP-tam karmaşıklığa sahiptir. Daha fazla bilgi için bkz. Wikipedia

3. Niv Derech, Ayellet Tal ve Ilan Shimshoni. “Solving archaeological puzzles.” Pattern Recognition 119 (2021): 108065.

4. Marie-Morgane Paumard, David Picard ve Hedi Tabia. “Jigsaw puzzle solving using local feature co-occurrences in deep neural networks.” 25th IEEE International Conference on Image Processing (ICIP). IEEE, 2018.

5. Marie-Morgane Paumard, David Picard ve Hedi Tabia. “Deepzzle: Solving visual jigsaw puzzles with deep learning and shortest path optimization.” IEEE Transactions on Image Processing 29 (2020): 3569-3581.

6. Metropolitan Sanat Müzesi’nin açık erişim politikasıyla paylaştığı belgeleri incelemek için bkz. The Met.

arkeoloji, bulmaca, dijital anastilosis, Ömer Sümer, restorasyon, yapay zekâ